Conjuntos y Técnicas de Conteo
- Definición y notación de un conjunto
A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B, C, ... y a los elementos de los conjuntos se denotan con letra minúsculas a, b, c, ...En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntos
Ejemplo : Supongamos que Venezuela es un conjunto, los elemento de ella son todos los estados.
finitos e infinitos. En el caso del ejemplo anterior Venezuela es un conjunto finito ya que se pueden contar sus elementos.
Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de objetos con
características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado.
Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:
- La colección de elementos debe estar bien definida.
- Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementos deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez.
- El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.
OPERACIONES Y LEYES DE CONJUNTO
Unión: La unión de los conjuntos A y B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por A + B y se llama unión de A y B.
En consecuencia,
X Î ( A + B) Û x Î A Ú x Î B.
Entonces se puede expresar por comprensión este conjunto así:
A + B = {x / x Î A Ú x Î B }
Una interpretación gráfica de la unión de A y B es la siguiente:
Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y a B, esto es, aquellos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota la intersección de A y B por A · B y se lee "A intersección B".
En consecuencia,
X Î A· B Û x Î A Ù x Î B.
El conjunto A· B está dado por:
A· B = {x / x Î A Ù x Î B}.
Gráficamente, una representación de A· B es:
La región rayada corresponde a A· B. Cuando A y B no tienen elementos comunes, se dice que son disjuntos. Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A, es decir, el conjunto de todos los elementos que están en el Universal y no están en A. El complemento de A se denota por A'.
En consecuencia,
X Î A' Û x Î 1 Ù x Ï A.
Gráficamente, su representación está dada por:
A' = {x / x Î 1 Ù x Ï A}.
Leyes
Dadas las operaciones binarias sobre conjuntos unión e intersección y la operación monaria complemento, se cumplen algunas leyes o propiedades que se agrupan del siguiente modo:
Unión (∪) : A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B }
•
Intersección (∩) : A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B }
•
Diferencia ( –) : A –B = { x / x ∈ A ∧ x ∉B }
•
Complemento ( c ) : Ac = { x / x ∉A }
•
Diferencia simétrica ( Δ): A Δ B = (A ∪ B) –( A ∩ B)
•
Inclusión (⊆): A ⊆ B ⇔ ∀x, x ∈ A → x ∈ B•
PRINCIPALES LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
LEYES DE IDEMPOTENCIA
:
1a) A
∪ A = A 1b) A ∩ A = A
LEYES ASOCIATIVAS
2a) (A
∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 2b) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
LEYES CONMUTATIVAS
3a) A
∪ B = B ∪ A 3b) A ∩ B = B ∩ A
LEYES DISTRIBUTIVAS
4a) A
∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) 4b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
LEYES DE IDENTIDAD
5a) A
6a) A
∪ ∅= A 5b) A ∩ U = A∪ U = U 6b) A ∩ ∅= ∅
LEYES DE COMPLEMENTO
7a) A
∪ Ac = U 7b) A ∩ Ac = ∅
8a) ( A
c )c = A 8b) U c = ∅ , ∅ c = U
LEYES DE De MORGAN
9a) (A
: El símbolo Ac, que denota el complemento del conjunto A, también se suele denotar como A,
OBSERVACIÓN
o A’
DIAGRAMA DE VEN EULER.
Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica de clases conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos. Por ejemplo, si los círculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra un área común a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el círculo del conjunto A aparece dentro del círculo de otro B, es que todos los elementos de A también están contenidos en B.
Los diagramas de tres conjuntos fueron los más corrientes elaborados por Venn en su presentación inicial. Las distintas intersecciones de los tres conjuntos A, B y C definen SIETE áreas diferentes, cuyas posibles uniones suponen 256 combinaciones distintas de los tres conjuntos iniciales.
Más de tres conjuntos
La dificultad de representar más de tres conjuntos mediante diagramas de Venn (o cualquier otra representación gráfica) es evidente. Venn sentía afición a la búsqueda de diagramas para más de tres conjuntos, a los que definía como "figuras simétricas, elegantes en sí mismas". A lo largo de su vida diseñó varias de estas representaciones usando elipses, así como indicaciones para la creación de diagramas con cualquier cantidad de curvas, partiendo del diagrama de tres círculos.
Diagramas de Venn de Edwards
A. W. F. Edwards diseñó representaciones para diagramas de Venn de más de tres conjuntos, proyectando el diagrama sobre una esfera. Se pueden representar fácilmente tres conjuntos tomando tres hemisferios en ángulos rectos (x=0, y=0 y z=0). Un cuarto conjunto se puede representar tomando una curva similar a la juntura de una pelota de tenis que suba y baje alrededor del ecuador. Los conjuntos resultantes pueden proyectarse de nuevo sobre el plano para mostrar diagramas de engranaje, con cantidades cada vez mayores de dientes. Edwards ideó estos diagramas mientras diseñaba la ventana acristalada en memoria de Venn que hoy adorna el comedor de su colegio.
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO.
Permutaciones:
llamamos permutación de un conjunto a cada una de las posibles ordenaciones de todos los elementos de dicho conjunto.
Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".La definición intuitiva de permutación, como ordenamientos o arreglos de los elementos de un conjunto se formaliza con el uso del lenguaje de funciones matematicas.
"Una permutación de un conjunto X es una función biyectiva de dicho conjunto en sí mismo."
PERMUTACIONES
DEFINICIÓN: Una permutación es un arreglo de todos ó algunos elementos, en donde una permutación es diferente de otra si el arreglo
ó el contenido es diferente.
Ejemplos:
-Permutaciones diferentes en arreglo: 123 _ 132
-Permutaciones diferentes en contenido: 123 _ 124
a) Se puede permutar los n elementos tomándolos todos a la vez.
b) O bien se puede permutar los n elementos tomando parte de ellos a la vez donde (r < n).
El número de permutaciones de n objetos es el número de formas en los que pueden acomodarse esos objetos en términos de orden.
Permutaciones En n Objetos
Permutaciones de n elementos tomando n a la vez es igual a:
nPn = n! = (n) x (n-1) x… x (2) x (1)
COMBINACIONES
En el caso de las combinaciones, lo importante es el número de agrupaciones diferentes de objetos que pueden incurrir sin importar su orden.
Por lo tanto en las combinaciones se busca el número se subgrupos diferentes que pueden tomarse a partir de n objetos.
El número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez es igual a:
nCr = n!
----
r! (n-r)!
Ejemplos:
Estadística 1
Conjuntos y Técnicas de Conteo
Probabilidad y teoría de Conjuntos 9
- Bibliografía
Estadística 1
Conjuntos y Técnicas de Conteo
